Durante treinta años, una conjetura sobre el reparto equitativo matemático permaneció atascada. En otoño de 2025, dos científicos computacionales rompieron el bloqueo con un algoritmo que deja el desequilibrio al borde de una constante universal. Nikhil Bansal, de la Universidad de Míchigan, y Haotian Jiang, de la Universidad de Chicago, han firmado el primer avance importante desde 1998 en teoría de la discrepancia, la rama matemática que estudia cómo repartir recursos con la mínima desigualdad posible, según detalla Quanta Magazine.
El enigma de Komlós: por qué el desequilibrio debería ser constante
La idea que obsesiona a esta disciplina nació en los años ochenta de la mano de János Komlós. Su conjetura sostiene algo contraintuitivo: no importa cuántos objetos haya que dividir ni cuántas categorías queramos equilibrar; siempre existe una manera de repartirlos en dos grupos con una discrepancia que no supera una constante universal.
Para entenderlo, sirve un juego de trivial. Repartir doce personas en dos equipos parece fácil, pero cada una llega con fortalezas y carencias distintas: uno domina la geografía y no la música; otro conoce la naturaleza y no ha visto la televisión; un tercero es un cinéfilo que no lee. Equilibrar todas esas dimensiones a la vez convierte un simple sorteo en un problema matemático peliagudo.
Cada participante puede representarse como un vector de longitud 1. Sus coordenadas miden cuánto sabe de libros, cine, mitología o baloncesto universitario. Asignar un vector al equipo B equivale a multiplicar cada coordenada por −1. Si la suma de todos los vectores se acerca a cero, el reparto es casi perfecto. La conjetura de Komlós asegura que, con la estrategia adecuada, esa suma nunca se aleja de cero más que una constante fija, por muchas dimensiones que se añadan.
El problema es que, durante décadas, nadie logró acercarse a esa constante. En 1985, Joel Spencer acotó la discrepancia por el logaritmo de N; en 1998, Wojciech Banaszczyk la redujo a la raíz cuadrada de log(N). Ambas cotas seguían creciendo con el número de vectores. La constante universal parecía inalcanzable.
Un algoritmo que ‘parte personas por la mitad’
La solución llegó por una vía inesperada: los algoritmos. Bansal empezó a principios de los 2010 por partir cada vector a la mitad, como si pudiera ‘cortar a una persona en dos’, y luego reasignaba las mitades mediante un proceso aleatorio controlado. En 2016 igualó el récord de Banaszczyk. Fue entonces cuando él y Jiang se propusieron batirlo.
La cota de 1998 parecía definitiva para muchos investigadores; el nuevo algoritmo demuestra que la intuición se equivocaba.
La dificultad reside en que las dimensiones no son independientes. Si dos concesionarios se reparten coches por color y por tipo de carrocería, igualar después los descapotables puede desequilibrar los colores. Bansal y Jiang diseñaron en 2025 un algoritmo que mide también la ‘dependencia’: cuánto cambia la discrepancia de unas dimensiones al perturbar otras. Así lograron mover cada fracción sin que los atributos se estorbaran.
La mejora es sutil, pero enorme. La nueva cota es log(N) elevado a un cuarto, tan plana que, en palabras del matemático Daniel Spielman, ‘en tu vida no verás un número para el que la cuarta raíz de log(N) supere 5’. A todos los efectos prácticos, está al borde de una constante. Es la primera mejora real en casi treinta años.
Por qué el avance no es la prueba final (pero casi)
El resultado no es la prueba de la conjetura. La cota log(N)^(1/4) todavía crece, aunque sea de forma casi imperceptible. Demostrar una constante universal exigirá una idea adicional. Aun así, el avance supone la evidencia más sólida acumulada en tres décadas. La diferencia entre una cota logarítmica y una constante absoluta puede sonar abstracta, pero marca la frontera entre lo que crece sin control y lo que permanece acotado.
Los propios investigadores han cambiado de opinión. Aleksandar Nikolov, de la Universidad de Toronto, admite: ‘Solía inclinarme por pensar que la conjetura era falsa; el nuevo trabajo me hace bastante más confiado en que probablemente sea cierta’. Daniel Spielman, de Yale, coincide en que la cuarta raíz convierte la cota en ‘muy cercana a constante para cualquier propósito práctico’.
El alcance potencial va más allá de las matemáticas. Rainie Heck, del Instituto Alfréd Rényi de Matemáticas en Hungría, estudia cómo la teoría de la discrepancia puede mejorar los modelos grandes de lenguaje y otros sistemas de aprendizaje automático. Al fin y al cabo, equilibrar lotes de datos, ensayos clínicos o recursos industriales se reduce al mismo problema: minimizar un desequilibrio entre muchas dimensiones. La eficiencia del nuevo algoritmo, destacan los especialistas, podría aplicarse a otras preguntas abiertas. Un reparto más limpio en los datos de entrenamiento puede traducirse en modelos más equilibrados y menos sesgados.
La próxima frontera es si la constante de Komlós se puede alcanzar de verdad. Entre tanto, el trabajo de Bansal y Jiang devuelve a la teoría de la discrepancia un impulso que parecía agotado. La historia deja una lección: a veces la intuición matemática más optimista no era una locura; solo necesitaba mejores herramientas.
🔬 Ficha del Descubrimiento
- Qué se ha descubierto: Un algoritmo que reduce la cota de discrepancia a log(N)^(1/4), el primer avance en 30 años hacia la conjetura de Komlós.
- Dónde: En el ámbito de las matemáticas computacionales, con equipos en Ann Arbor (Míchigan) y Chicago.
- Institución responsable: Universidad de Míchigan y Universidad de Chicago; trabajo presentado por Nikhil Bansal y Haotian Jiang.
- Cuándo: Anunciado en otoño de 2025; divulgado en agosto de 2026.
- Impacto a futuro: Abre vías en teoría de la discrepancia, optimización y aprendizaje automático.
