En 1947, el matemático Paul Erdős sacudió la ciencia con una idea que sonaba a trampa: en lugar de construir una red compleja a mano, propuso elegir una al azar y demostrar que la probabilidad de que cumpliese ciertas propiedades era mayor que cero. Aquel método probabilístico cambió las matemáticas para siempre. Ocho décadas después, un equipo de la Universidad de Tsinghua ha dado el primer paso realmente nuevo para mejorar su potencia en un problema que llevaba medio siglo congelado: los números de Ramsey casi diagonales.
El avance, liderado por el estudiante de posgrado Wujie Shen junto con Jie Ma y Shengjie Xie, acaba de publicarse en un artículo que rompe cincuenta años de silencio. Su propuesta introduce geometría de altas dimensiones en el corazón del método de Erdős y consigue, aunque sea de forma minúscula, empujar la frontera de lo que se puede saber sobre redes gigantes sin que aparezcan patrones no deseados.
El enigma de los números de Ramsey
Imagina un grafo con nodos conectados por aristas, y supón que coloreas cada arista de rojo o azul. Lo fácil es evitar que se formen grupos de nodos todos unidos por aristas del mismo color, lo que se llama un clique monocromático. Pero cuando la red crece llega un momento en que es imposible: siempre aparece un clique prohibido. Los números de Ramsey miden el tamaño máximo que puede tener un grafo antes de que ese patón surja inevitablemente.
Paul Erdős revolucionó este campo en 1947 al atacar los llamados números de Ramsey diagonales (cuando prohíbes cliques rojos y azules del mismo tamaño) y los casi diagonales (cuando los tamaños son distintos pero no demasiado). Con un argumento de apenas unas líneas, demostró que el número de Ramsey R(k) debía ser mayor que √2k. Era una cota inferior obtenida sin construir nada, solo usando azar. Pero para los casos casi diagonales, donde los cliques rojos y azules son ambos grandes, la mejora se estancó. De hecho, desde los años setenta apenas se había movido una milésima: de unos 2500 a 2501 para un clique de tamaño 1.000.
El método probabilístico demostró que el azar podía hacer lo que la construcción humana no conseguía, pero durante décadas fue imposible mejorarlo en los números de Ramsey casi diagonales.
Geometría de altas dimensiones: la clave del avance
Shen llegó a la teoría de Ramsey en 2024 casi por casualidad durante sus estudios en geometría y topología. Se preguntó si existía un modelo aleatorio que generase coloraciones libres de cliques con más eficacia que el lanzamiento de moneda de Erdős. La respuesta la encontró en esferas de dimensión muy alta.
En esferas con cientos o miles de dimensiones las distancias se comportan de forma contraintuitiva: casi todos los pares de puntos están cerca del ecuador y las líneas que los unen al centro son prácticamente perpendiculares. El equipo situó los nodos del grafo al azar sobre la superficie de una de estas esferas y coloreó las aristas según la distancia: si los puntos estaban lejos, arista roja; si estaban cerca, azul. La geometría limitaba de forma natural la formación de grandes cliques rojos, porque para tener muchos nodos mutuamente alejados en una esfera de alta dimensión se necesitaría un espacio que simplemente no existe.
La penalización era un aumento de cliques azules, pero los cálculos —cuarenta páginas de álgebra densa— demostraron que el beneficio neto era positivo para el caso en que los cliques azules son mayores que los rojos. Así lograron mejorar la cota de Erdős en una cantidad minúscula pero decisiva: de un factor de crecimiento de ((√5+1)/2)k a ((√5+1)/2 + 10−21)k. Un avance de 10-21 que, sin embargo, rompe cinco décadas de inmovilidad en los números de Ramsey casi diagonales.
Lo que significa este avance para las matemáticas modernas
El artículo, colgado en julio de 2025, desató una cascada de progresos. En diciembre del mismo año, Benny Sudakov y dos de sus estudiantes en el Instituto Federal de Tecnología de Zúrich simplificaron el modelo y mejoraron aún más las cotas. Otros equipos han empezado a usar la técnica para generalizar los resultados a tres colores. La inyección de geometría en el método probabilístico está funcionando como un nuevo “parque de ideas”, en palabras de Sudakov.
No obstante, la mejora solo vale cuando los cliques azules prohibidos son más grandes que los rojos. Para el caso diagonal puro (cliques del mismo tamaño) el beneficio se anula y el problema sigue abierto. La propia naturaleza de la esfera de alta dimensión impide que la estrategia funcione allí: al colorear por distancia, lo que ganas en un color lo pierdes en el otro. Esta limitación recuerda por qué el método de Erdős, a pesar de su enorme éxito, nunca fue una varita mágica.
El trabajo de Shen, Ma y Xie demuestra que incluso los rincones más explorados de las matemáticas pueden esconder herramientas inesperadas. Que un estudiante de geometría sin formación previa en Ramsey haya descubierto cómo usar esferas multidimensionales para romper un estancamiento de medio siglo es un recordatorio de que la curiosidad y la mezcla de disciplinas siguen siendo el mejor motor del conocimiento. Como dijo Julian Sahasrabudhe, de la Universidad de Cambridge, “estaba a la vista de todos, oculto a plena luz”.
🔬 Ficha del Descubrimiento
- Qué se ha descubierto: Un método mejorado del probabilístico de Erdős que, mediante geometría de esferas de alta dimensión, mejora la cota inferior de los números de Ramsey casi diagonales por primera vez en 50 años.
- Dónde: Universidad de Tsinghua (Pekín), con verificaciones posteriores en la ETH de Zúrich.
- Institución responsable: Wujie Shen, Jie Ma y Shengjie Xie (Tsinghua); mejoras ulteriores por Benny Sudakov y su equipo (ETH).
- Cuándo: Artículo publicado en julio de 2025; avances complementarios en diciembre de 2025.
- Impacto a futuro: Abre una nueva vía para atacar los números de Ramsey y reafirma la potencia de combinar azar y geometría, influyendo ya en generalizaciones a tres colores.
